Polinomios

Un polinomio es una función que se puede escribir como:

n
∑	ai.xn-i
i = 0

Terrible. Vendria a ser cosas como 3x⁵+7x³-x+4 por poner un ejemplo. Lo importante es que las potencias de X sean números naturales.
Este polinomio (3x⁵+7x³-x+4) viene a ser de grado 5 (Le decimos grado a la mayor potencia del polinomio).
Además está ordenado (está de mayor potencia a menor potencia), pero no está completo (5 es la potencia más grande, pero no están todas las potencias). Para completarlo, podria hacerlo con 0s, osea:
3x⁵+0x⁴+7x³+0x²-x+4
Los numeritos junto a las x son los coeficientes (Acá, en orden, serian 3, 0, 7, 0, -1 y 4). Al de la mayor potencia le decimos Coeficiente Principal(Osea, aca el 3. Si fuese 1, diriamos que el polinomio es mónico) y al ultimo Coeficiente Independiente(Osea, aca el 4)
Y a todos les podriamos dar nombre por su potencia. Al de x³ podriamos decirle cúbico, al de x² cuadrático y al de x sola le podriamos decir lineal, pero no entran tanto en juego como los otros 2.
Otra cosa importante es que la potencia más grande que aparece es el grado del polinomio. En nuestro ejemplo, es de grado 5. Además todo polinomio solo admite tantas raíces como su grado. Esto se llama el Teorema Fundamental del Álgebra (de hecho, el teorema es un poco más específico, pero no viene al caso al principio de polinomios)
Es decir, en nuestro ejemplo, como es de grado 5 va a haber a lo sumo 5 números que cuándo los reemplazamos por x nos da 0 el polinomio. No sé cuáles son en este momento, y un poco la gracia de ver el tema es averiguar cómo encuentro estas raices (a veces se les dicen 'ceros')

Lo primero que se suele aprender de los polinomios es que se pueden escribir en forma factorizada.
Es decir, podriamos escribir un polinomio P(x) como P(x) = x³-13x²+39x-27 que seria en su forma polinómica.
O podriamos escribirlo como P(x) = (x-1).(x-3).(x-9) que seria en su forma factorizada.
Estos 2 polinomios son efectivamente el mismo, puedo tomar el segundo y ponerme a distribuir para ver que llego a lo mismo
P(x) = (x-1).(x-3).(x-9)
P(x) = (x²-x-3x+3).(x-9)
P(x) = (x²-4x+3).(x-9)
P(x) = x³-4x²+3x-9x²+36x-27
P(x) = x³-13x²+39x-27
Que es efectivamente el polinomio original. Osea que pasar de forma factorizada a forma polinómica no es muy complicado, el problema es cómo hago al reves.
Para eso tenemos unos cuantos métodos de factorización, pero el objetivo principal es encontrar las raíces del polinomio, es decir, para qué valores de x el polinomio da 0

FACTORIZAR UN POLINOMIO ES LO MISMO QUE BUSCAR SUS RAÍCES

A ver, si y no. Si podemos factorizarlo completamente si, pero aun asi, no es obvio esto.
Doy un ejemplo para que se entienda el por qué. Supongamos que tenemos el polinomio P(x) = (x-1).(x+2)
Si le buscamos las raíces, tendriamos que igualarlo a 0, osea:
0 = (x-1).(x+2)
Como tenemos una multiplicación que da 0, significa que alguno de los 2 que multiplica debe ser 0.
x-1 = 0 o x+2 = 0
De ahi resolver cada uno es bastante directo
x = 1 o x = -2
Y ahi están las raíces del polinomio, 1 y -2. Lo bueno es que cuando distribuimos no estamos cambiando nada, asi que luego de distribuir queda el polinomio
P(x) = x²+x-2
Y sigue teniendo las mismas raíces, porque en realidad es el mismo polinomio, solo expresado de otra manera
P(1) = 1²+1-2 = 0
P(-2) = (-2)²+(-2)-2 = 4-2-2 = 0
Bueno, muchas vueltas para decir lo siguiente:
Sean x₁,x₂,...,x_n raices del polinomio P(x), entonces podemos escribir P(x) como
P(x) = a.(x-x₁).(x-x₂). ... . (x-x_n)
Le llamamos "Forma factorizada" del polinomio P(x)
Dicho eso, arrancamos con factorización de polinomios

METODO 0: TANTEAR RAICES

Si sabemos las raíces de un polinomio (porque se nos ocurren, porque nos las dicen o porque un entidad divina nos las dió) podemos factorizarlo rapidamente.
No es en si un método oficial digamos (por eso 'método 0') pero es práctico saberlo e importante tenerlo en cuenta
Por ejemplo, tenemos P(x) = x³+x²-4x-4 y probamos 3 números que nos parecen raíces, por ejemplo -2, -1 y 2 digamos
P(-2) = (-2)³+(-2)²-4.(-2)-4 = -8+4+8-4 = 0
P(-1) = (-1)³+(-1)²-4.(-1)-4 = -1+1+4-4 = 0
P(2) = 2³+2²-4.2-4 = 8+4-8-4 = 0
Entonces estos 3 números son raíces. Y como el polinomio es de grado 3, tiene máximo 3 raíces, asi que son todas. Entonces, factorizado nos queda
P(x) = (x+2).(x+1).(x-2)

METODO 1: FACTOR COMÚN

La propiedad distributiva es muy muy muy practica, y el factor común es una consecuencia de ella.
Si tuviesemos a.(b+c) podriamos usar la propiedad distributiva para sacarnos el parentesis. Es decir:
a.(b+c) = a.b + a.c
El factor común consiste en 'retroceder' la distributiva. Doy un ejemplo
Supongamos que tenemos 18x⁴+15x³. Ambos términos son multiplos de 3 (18 es 3.6 y 15 es 3.5) y de x³ (porque x⁴ es x³.x y x³ es x³.1)
Entonces podriamos 'sacar' el 3x³ de factor comun. Asi nos queda 3x³.(6x+5)

A veces es más facil verlo si escribimos todo bien desarrollado como multiplicación. En este ejemplo:
18x⁴+15x³ = 3.3.2.x.x.x.x + 3.5.x.x.x
Ahora podriamos marcar lo que comparten
3.3.2.x.x.x.x + 3.5.x.x.x
Y sacar eso de factor comun. Lo que no marcamos queda en el paréntesis.
3x³.(6x+5)
(el 6 es el 3.2 que quedo sin marcar en el primero)

Importante notar que si ahora usamos la distributiva volvemos a lo que teniamos antes. Nos quedamos tranquilos que es exactamente la misma expresion, solo que ya no esta como suma, sino como multiplicacion, es decir, factorizado.
Ejemplos de factor comun:
x⁴+x³-x² = x².(x²+x-1) (FACTOR COMUN x²)
5x²-10x+25 = 5.(x²-2+5) (FACTOR COMUN 5)
(Nota pseudo importante, podemos sacar cualquier factor común si queremos.
Si mi polinomio fuese P(x) = 3x²+x-6, le puedo sacar factor común digamos... 7x⁵ si quisiese, y quedaria algo como
7x⁵.(3x²/7x⁵ + x/7x⁵ - 6/7x⁵)
(Es decir, todos divididos por el factor común que saque). Esto hay situaciones en las que es util, pero si hablamos de factorizacion de polinomios y búsqueda de raices, no se suele usar.)
PARA PRACTICAR: Extraer el máximo factor común en los siguientes polinomios, para convertirlos en mónicos (recordar, mónico = coeficiente principal es 1) del menor grado posible:
P(x) = 2x⁵ + 6x³ - 16x² Q(x) = 1/2 x⁴ + x ³ R(x) = 10x³ - 20x

METODO 2: FACTOR COMÚN POR GRUPOS

Hay veces que no se puede extraer factor común directamente, pero ocurre que si vemos algunos términos si les podriamos sacar factor común.
Por ejemplo, veamos el siguiente polinomio
P(x) = 3x³ + 3x² + 7x + 7
Entre los primeros 2 terminos podria hacer un factor comun 3x² y con los otros 2 podria hacer un factor comun 7. Veamos que pasa si separo asi
P(x) = 3x².(x+1) + 7.(x+1)
Ahora me quedó asi el polinomio. No está factorizado, porque no está escrito como multiplicacion aun, hay una suma en el medio. Pero las 2 partes de la suma tienen el (x+1) en comun, asi que podria sacarlo de factor comun. En el parentesis me quedaria lo que no comparten. Es decir:
P(x) = (x+1).(3x²+7)
Tada! Factorizado. Parece magia al principio, pero después de hacer unos cuantos, uno termina agarrandole el ojo al método de factorización. Esto es cierto para la mayor parte de estos metodos, de mucho practicar uno se acostumbra y ya viendo el polinomio tiene una idea de como se podria factorizar
EJEMPLOS, VEAMOS EJEMPLOS, NECESITO EJEMPLOS PARA ENTENDER SOLO LA TEORIA NO ALCANZA
P(x) = 9x⁵ - 3x³ - 6x² + 2
P(x) = 3x³.(3x²-1) - 2.(3x² - 1) (NOTEMOS: Tuve que sacar factor comun -2 en la segunda parte, asi me coinciden los signos de los parentesis)
P(x) = (3x² - 1).(3x³ - 2)
---------------------------------------------------------------
Q(x) = 4x⁵ + 8x⁴ - 3x³ - 6x² + 9x + 18
Q(x) = 4x⁴.(x+2) -3x².(x+2) + 9.(x+2)
Q(x) = (x+2).(4x⁴-3x²+9)
PARA PRACTICAR:
Factorizar los polinomios mediante factor comun por grupos
P(x) = x⁵+1/2.x⁴-6x+3
Q(x) = 2x³-x²-4x+2
R(x) = 2x⁸-3x⁷+6x⁵-9x⁴-4x+6
Nota: Hay veces en que hay varias formas de armar los grupos. CREO que en estos ejercicios que armé no hay multiples formas de pensar los grupos, pero si que podria pasar.

METODO 3: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (o cuadrado de un binomio)

Asi como factor común es como el reverso de la distributiva, este y los siguientes 2 métodos son reversos de otras propiedades que se suelen ver antes. En este caso, el cuadrado del binomio.

METODO 4: CUATRINOMIO CUBO PERFECTO (o cubo de un binomio)

METODO 5: DIFERENCIA DE CUADRADOS

METODO 6: GAUSS + RUFFINI

METODO 7: CUADRATICA/RESOLVENTE/BHASKARA

METODO 8: DIFERENCIA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO

METODO 9: BINOMIOS DE NEWTON (y podemos inventar un método si sabemos lo que hacemos)